В 1982 году Александр Григорьевич получает высшее образование в Московском государственном физико-техническом институте. Там же, в 1985 году, защищает кандидатскую. Пару месяцев спустя Абрамов начинает свою трудовую деятельность в должности заведующего лабораторией в Институте высоких температур, где вскоре начинает руководить коммерческим центром.
В конце 80-х годов Абрамов посвящает себя бизнесу. В 1992 году он, как совладелец ТОО «Евроазметалл», занимает пост руководителя компании.
«Евроазметалл» активно объединяется с горнорудными и металлургическими комбинатами и в 1995 году появляется группа компаний «ЕвразХолдинг», президентом которой Абрамов становится в 1999 году.
Под контролем «ЕвразХолдинга» оказывается Нижнетагильский металлургический комбинат (НТМК), в члены совета директоров которого входит Абрамов, а позднее и возглавляет его.
В составе «ЕвразХолдинга» появляются Западно-Сибирский, Кузнецкий, Новокузнецкий, Новосибирский металлургические комбинаты, Высокогорский и Качканарский горно-обогатительные комбинаты, а также «Евразруда» и «Находкинский морской порт».
В конце 90-х Абрамов попутно ведёт деятельность в компании ЗАО «Феррокс», осуществляющей реализацию продукции НТМК, входит в совет директоров банка ОАО АКБ «Транскредит» и инвестиционной компании ИК «Финпром».
В 2000 году Абрамов входит в Совет по предпринимательству при правительстве России.
В 2001 году он избирается в совет директоров Северского трубного завода и возглавляет комитет кредиторов Западносибирского металлургического комбината.
В 2005 году «ЕвразХолдинг» размещает свои акции на Лондонской фондовой бирже. Продажа акций успешно продвигает «ЕвразХолдинг» на международном рынке.
В 2005 году Абрамов оставляет все руководящие посты и сосредотачивается на развитии дальнейшей стратегии «ЕвразХолдинга» в составе совета директоров.
«ЕвразХолдинг» расширяет своё присутствие на Украине, взяв под контроль несколько украинских металлургических предприятий.
В 2009 году Абрамов принимает участие в создании общества «СПб реновация», которое занимается строительством жилых фондов.
В 2010 году Абрамов становится совладельцем Международного финансового клуба.
Миллиардер Абрамов входит в союз промышленников и предпринимателей. Он инвестирует лесную и горнодобывающую промышленность.
